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By Gerd Fischer (auth.)

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Example text

Ist f: X ~ X eine Kollineation und ist Xo C X eine Ebene, so ist f(X o) eine Ebene. Beweis. 9 gleich der Menge der Punkte, die auf Verbindungsgeraden zwischen Y und y' liegen. Da f Kollineation ist, folgt f(Xo) =f(Y) V f(Y') und daraus ergibt sich die Behauptung. 36 1. 4. 0. Nur sehr elementare geometrische Untersuchungen fuhren zu affinen Räumen. Das einfachste Beispiel fUr einen nicht geraden "geometrischen Ort" ist die Menge all der Punkte (x,y) E IR 2 , die von einem festen Punkt (xo,Yo) den Abstand r ;;;.

32). 55 5' F' x 5 q L' L Satz 2. Für jeden Punkt p der Ellipse gilt d(p,F) d(p, L) = e. Bild 1-32 40 1. Affine Geometrie Beweis. Die zu beweisende Bedingung lautet quadriert (x-ci +y2 = c2 . (:2 _xf a2 Eine triviale Reclmung ergibt daraus y2 x2 -+-=1. 33). gabe 2. Gegeben sei ein beliebiger Punkt p = (xo, Yo) der Ellipse mit der Gleichung x2 y2 -+-=1 . 34 Man beweise : a) Die durch p gehende Tangente T hat die Gleichung xox yoY a2 b2 -+ - = l. 4. Quadriken c) Es ist d(F,p) = a -exo, d(F/,p)::: a+exo.

Läßt man diese Zusatzbedingung fallen, so gibt es überabzählbar viele weitere Automorphismen (etwa einen mit a(e) = 7T, aber Q(lR) IR). 3. 1 gesehen haben, gibt es in /A 2 (1&) nicht affine Kollineationen. Um das Beispiel zu verallgemeinern, wieder ein paar neue Begriffe. Definition. Seien V und W Vektorräume über dem Körper K. Eine Abbildung F:V~W 34 1. Affine Geometrie heißt semilinear, wenn es einen Automorphismus a von K gibt, so daß für alle v, w E V und XE K gilt: SLI F(v+w)=F(v)+F(w) SL2 F(X'v) =a(X)'F(v) Übungsaufgabe 1.

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